ریاضی هشتم صفحه 94 - فعالیت 2
۲- در شکل مقابل پارهخط $\overline{AM}$، نیمساز زاویهی روبهرو به قاعدهی مثلث متساویالساقین $ABC$ را رسم کردهایم. عبارتهای زیر را کامل کنید و به کمک آنها نشان دهید دو مثلث $ABD$ و $ADC$ با هم همنهشت هستند و دو زاویهی مجاور قاعده با هم برابرند.
چون $\overline{AB} = \overline{AC}$
$\hat{A_1} = \hat{A_2}$ چون $\overline{AD}$ نیمساز است.
$\overline{AD}$ هم ضلع مشترک دو مثلث است.
همنهشتی این دو مثلث را با یک عبارت نشان دهید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 94 - فعالیت 2
این فعالیت با هدف اثبات ویژگیهای مثلث متساویالساقین (برابری زوایای مجاور قاعده) با استفاده از **حالت همنهشتی دو ضلع و زاویهی بین** (حالت **ض.ز.ض**) طراحی شده است.
ما باید نشان دهیم که دو مثلث $\triangle ABD$ و $\triangle ACD$ همنهشت هستند. (در تصویر، میانه/نیمساز $\overline{AM}$ نامگذاری شده اما در متن از $\overline{AD}$ استفاده شده است، ما از $\overline{AD}$ استفاده میکنیم.)
### **تکمیل و اثبات همنهشتی (حالت ض.ز.ض)**
برای اثبات همنهشتی، به برابری دو ضلع و زاویهی بین آنها نیاز داریم:
**۱. تساوی ساقها (ضلع):**
چون مثلث $ABC$ **متساویالساقین** است، ساقهای آن برابرند:
$$\overline{\mathbf{AB}} = \overline{\mathbf{AC}}$$
**۲. تساوی زاویههای رأس (زاویه):**
چون $\overline{AD}$ **نیمساز** زاویهی $\hat{A}$ است، زاویهی $\hat{A}$ را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده است:
$$\mathbf{\hat{A_1}} = \mathbf{\hat{A_2}}$$
**۳. ضلع مشترک (ضلع):**
$verline{AD}$ یک **ضلع مشترک** بین دو مثلث $\triangle ABD$ و $\triangle ACD$ است:
$$\overline{AD} = \overline{AD}$$
### **عبارت همنهشتی**
با توجه به برابری دو ضلع و زاویهی بین آنها (ضلع $\overline{AB}$، زاویهی $\hat{A_1}$ و ضلع $\overline{AD}$)، دو مثلث همنهشت هستند:
$$\mathbf{\triangle ABD \cong \triangle ACD} \quad (\text{حالت ض.ز.ض})$$
### **نتیجهگیری مهم (برابری زوایای مجاور قاعده):**
از آنجایی که دو مثلث $\triangle ABD$ و $\triangle ACD$ همنهشت هستند، اجزای متناظر آنها نیز برابرند. زاویهی $\hat{B}$ در مثلث اول متناظر با زاویهی $\hat{C}$ در مثلث دوم است:
$$\mathbf{\hat{B} = \hat{C}}$$
این همان اثبات هندسی این ویژگی است: **زوایای مجاور به قاعدهی مثلث متساویالساقین با هم برابرند.**
